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文章概览

知识积累向

晶体结构

• 简单格子、复式格子、布拉菲格子（等价简单格子）

• 原胞：体积最小的周期性平行六面体单元（简单格子只包含1个点，复式格子包含多个）

• 晶胞：周期性+对称性（简单格子就可能包含多个点）
• 威格纳-赛兹原胞：对称性+体积最小的原胞（用中垂线围成）

常见晶体结构

• 氯化钠：两个面心立方延基矢方向相互位移0.5套购而成的复式格子
• 氯化铯：简单立方，对角线，0.5
• 金刚石：面心立方，对角线0，.25
• 7大晶系，14种布拉菲各晶胞

晶向指数与晶面指数

晶向：一条直线包含格点，无数周期平行直线包含所有格点而无遗漏，直线的方向称为晶相。

晶向指数较大的[111]与[100]相比，原子密度更小

晶面指数简单的(100)，晶面间距大，容易分开。同时原子密度大，对X射线散射强，在X射线衍射中常被选为衍射面。

倒格子

• 倒格子：波矢空间的数学表示

$$b_1 = \frac{2 \pi}{\Omega}(a_2 \times a_3)$$

​ 式中，$\Omega = a_1 . (a_2 \times a_3) $ 是原胞的体积

• 物理量在倒格子与正格子中表示互为傅里叶变换

布里渊区

• 第n布里渊区是从原点出发，跨过（n-1）个垂直平分面的所有区域的集合

晶格振动

理解

实际上晶体中原子会在平衡位置附近振动。

振动会以波的形式在晶体中传播。

假设

• 一维左右振动，只考虑原子间相互作用，简谐近似
• 原子是短程力，只考虑最邻近原子的作用

一维单原子晶格振动

1. 列原子受力方程 $F = \beta (x_{n+1} + x_{n-1} - 2x_n)$
2. 方程解有固定形式 $x_n = A e^{i(qna-\omega t)}$
3. 带入方程得色散关系 $\omega = \sqrt\frac{4\beta}{m} |sin(\frac{qa}{2})|$

式中，q为波矢（$q = \frac{1\pi}{\lambda}$)，a为相邻原子间距，β为假设的间歇近似的劲度系数

结论

• 所有原子都是简谐振动
• 相邻原子相位差为qa
• 晶格振动是以平面波形式在晶体中传播的，称为格波

长波极限

当 $\lambda \to +\infty$ 时， $q \to 0$

• ω与q呈线性关系
• 相速度v是常数，与波长无关：符合宏观弹性波（晶格像一个连续介质）

短波极限

当 $|q| = \pm \frac{\pi}{a} $时，色散曲线完全平坦， $\lambda = 2a$

周期性

• q对应了倒格子的布里渊区，具体来说，一维的第一布里渊区，即 $-\frac{\pi}{2a} < q < \frac{\pi}{2a}$
• 观察表达式，ω是q的周期函数，周期为 $\pi/a$，每个布区是一个周期。

一维双原子晶格振动

• 列俩运动方程，二元一次方程

• 方程有非零解，行列式必为零

• 得

  $$\omega_{\pm}^{2}=\frac\beta{Mm}\Big[(M+m)\pm\sqrt{M^2+m^2+2Mmcos(2qa)}\Big]$$

• 得出两组ω，正的称为光学支，负的称为声学支

声学支

• 长波极限（q位于布区中央）
  • 两种原子运动完全一致
  • 代表原胞质心的运动
• 短波极限（q位于布区边界）
  • 轻 原子不振动，重的原子振动
• 一般情况：声学波相邻原子沿同一方向振动

光学支

• 长波极限
  • 两种原子作反向振动
  • 原胞质心保持不动
• 短波极限
  • 重的原子不振动，轻的原子振动
• 一般情况：光学波相邻原子沿相反方向振动

波恩-卡门边界条件

假设从无限的一维晶体中，分成无穷多个包含N个原子的一维晶体。且每块晶体对应的原子运动情况一样。

$$x_1 = x_{N+1}$$

得

$$e^{iqNa} = 1\\ qNa = 2\pi S, S \in Z\\$$

因为

$$-\frac{\pi}{2a} < q < \frac{\pi}{2a}$$

所以

$$-\frac{N}{2} < S < \frac{N}{2}$$

S只能取N个不同的值，因而q也只能取N个不同的值。

格波数

• 格波：在晶体中，每一个振动频率称为一个格波
• 原子的自由度：源自所占据的空间维度数目
• 多维复式格子晶体中，声学支每个维度只有一支，频率最低，其余的为光学支（了解）

电子模型

索末菲自由电子模型

假设

• 电子不受外力，也没有相互作用
• 电子逸出金属消耗能量

$$V = \left\{\begin{aligned}0,\quad &-L<x,y,z<L\\ +\infty,\quad &x,y,z>L\text{或}x,y,z<-L\end{aligned}\right.\\ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Phi(x,y,z) = E\Phi(x,y,z)$$

思路

1. 算电子运动方程：波函数和能量函数（关于位置的函数）（波函数本身没意义，波函数平方是出现粒子的概率）

2. 算能级数目：能级数目（关于能量的函数）（考虑到每个能级能容纳俩自选相反的电子，其实所求即为电子数目）

$$asdfasdf$$

1. 算能态密度：单位能量包含的能级数目（关于能量的函数）

$$Z(E) = \frac{V}{2\pi^2}(\frac{2m}{\hbar^2})^{3/2} E^{1/2} = CE^{1/2}$$

1. 假设电子服从费米-狄拉克统计（突然出现）：电子处在能量为E得状态得几率

$$f(E) = \frac{1}{exp(\frac{E-E_F}{K_B T}) + 1}$$

​ 式中，$E_F$ 称为费米能级，是电子气体的化学式

1. 算电子的分布函数：分布在能量为E附近的电子数目

$$\mathbf{d}N = f(E) \mathbf{d}Z \mathbf{d}E = \frac{CE^{1/2}\mathbf{d}E}{exp(\frac{E-E_F}{K_B T})+1}$$

费米能级（根据费米-狄拉克分布）

1. 温度趋于绝对零度时，费米能级以下的能级时满的，以上是空的。
2. $f(E_F) = 1/2$
3. 粒子处于费米能级以上的概率总小于1/2，反之亦然。

布洛赫定理

由于晶格周期势场

$$V(\mathbf{r}) = V(\mathbf{r+R})$$

电子的本征函数可以写成

$$\Phi_K(\mathbf{r}) = u_K(\mathbf{r})exp(i\mathbf{k \cdot r})$$

式中

$$u_K(\mathbf{r})=u_K(\mathbf{r+R})$$

• 周期势场中，电子的波函数是调幅平面波。其振幅周期变化。

近自由电子近似？？？

求周期势场中单电子的薛定谔方程

求出能带图E(K)

思路

1. 列电子薛定谔方程，其中的哈密顿量可以分成微分部分和周期势场部分
2. 其中周期势场展开成傅里叶级数
3. 把哈密顿量中的周期势场堪称微扰势
4. 得出零级能量和一级微扰能量、二级微扰能量
5. 求和得出E和波函数

由此得出能量与波矢k的关系

能带图性质

1. 禁带
2. 对称性
3. 每个能带能容纳2N个电子

紧束缚近似？？？

电子的准经典运动？？？

能带论与导电性

• 导体：能带中有电子未填满的带。

• 绝缘体：能带中只有满带和空带。价带（最高能带）被填满，更高能带与价带之间的禁带又宽，所以上面的能带是空的。

• 半导体：禁带宽度较窄，可以靠热激发把满带的电子激发到本来是空的能带上

问题：碳和硅是半导体，但是也没填满价带呀

半导体

绝对零度理想状态时，价带是满带。

但是常温下，少量价带中的电子会跃迁到上面的空带。

能带结构

• E(K)：沿不同波矢方向，能量分布

本征半导体和杂质半导体

热平衡载流子的统计分析

简并半导体

半导体的导电性

载流子散射

载流子漂移运动的基本规律

非平衡载流子

半导体器件物理基础

考试向

晶体结构

算基矢

多想多做，发篇一作