【math】格林函数 Green's function

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格林函数

是一个特定的函数，表达式为

一维空间

$$G(x,x^{\prime})=-\frac1{2\pi}\ln|x-x^{\prime}|$$

二维空间（泊松方程）

$$G(r,r^{\prime})=\frac1{2\pi}\ln|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|$$

三维空间（拉普拉斯方程）

$$G(r,r^{\prime})=\frac1{4\pi|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|}$$

定义和性质

1. r’=r 时 G 无穷大，反之趋近0

2. $$\nabla^2G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime})=-\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime})$$

应用

当

$$\nabla^2u(\mathbf{r})+f(\mathbf{r})=0$$

时，有

$$u(\mathbf{r})=\int G(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime})f(\mathbf{r}^{\prime})d\mathbf{r}^{\prime}$$

这样，我们就可以将偏微积分方程解析解了。

多想多做，发篇一作